Une autre raison découle de ce qui est connu comme le théorème de calvitie, qui énonce qu'un trou noir ne dépend que de trois choses : sa masse, sa charge électrique et sa rotation, et non d'autres paramètres individuels divers. La fonction métrique et son taux de variation d'un point à l'autre peuvent être utilisées pour définir une quantité appelée tenseur de courbure de Riemann, qui décrit exactement comment l'espace (ou espace-temps) est courbé en chaque point. Ainsi, les expériences d'un observateur en chute libre sont indiscernables de celles d'un observateur éloigné dans l'espace cosmique, loin de toute source mesurable de gravitation. Comme les différences entre les prédictions des théories d'Einstein et de Newton sont les plus marquées quand la gravitation est forte, les physiciens se sont intéressés depuis longtemps aux tests de divers effets relativistes dans des environnements où règne une forte gravitation. De façon semblable, Einstein a prédit la déflexion de la lumière par un champ gravitationnel : dans un champ gravitationnel, la lumière est défléchie vers le bas. 1 : En math�matiques, le laplacien d�une fonction mesure l��cart entre la valeur de cette fonction en un point et sa valeur moyenne au voisinage du point. Pour un corps immobile (quantité de mouvement nulle), la masse et l'énergie sont reliées en relativité restreinte par la relation d'équivalence masse-énergie : E = mc², relation la plus connue de la relativité restreinte, tout en n'étant pas forcément la mieux interprétée. La loi de la gravitation de Newton était acceptée parce qu'elle rendait compte des mouvements des planètes et de leurs satellites avec une grande précision. Inversement, les tests de la précision du système (et en particulier les mesures très raffinées qui participent à la définition du temps universel coordonné, UTC) témoignent de la validité des corrections prédites par la relativité[34]. Soit un tenseur d�ordre 2 : Il en va de m�me pour les vecteurs : voir l��quation (a-4) plus haut. L’occasion de revenir sur une équation qui a changé le monde. Dans la relativité générale, la formule précédente n'est pas valable, mais il existe une formule équivalente. Ce type de convergence est bien connu quand il fait intervenir la déviation par une lentille optique, et par suite l'effet gravitationnel est appelé lentille gravitationnelle[36]. Une analogie plus profonde relie les forces de marée à la propriété des surfaces que l'on appelle courbure. Accélération et distance provoquent un décalage vers le rouge (vers les basses fréquences). Une autre, reliée aux masses en rotation est appelée effet Lense-Thirring. Inversement, de la lumière émise du haut arrivera à une fréquence supérieure à celle d'émission à l'observateur du bas. Les trajectoires de corps en mouvement sont des lignes dans l'espace-temps, appelées lignes d'univers ; les trajectoires de corps se déplaçant à vitesse constante sans changer de direction y correspondent à des lignes droites[12]. Ceci permet de d�terminer la valeur des symboles de Christoffel � partir des composants de la m�trique : La formule g�n�rale de la d�riv�e covariante s��crit de la mani�re suivante : Notons que, par d�finition, la d�riv�e covariante du tenseur m�trique est nulle : Comme nous l�avons indiqu� plus haut, elle s�obtient en recherchant la courbe de longueur minimum entre deux points. En conséquence, il y a une composante de mouvement de chaque corps dirigée vers l'autre (voir figure). Il faut souligner qu'aucun des deux observateurs ne peut observer de changement dans l'écoulement du temps autour de lui, ou pour des objets qui sont près de lui, ou qui se déplacent lentement par rapport à lui : le temps nécessaire pour cuire un œuf à la coque est toujours de trois minutes. Une généralisation de la relativité générale avec torsion existe, c’est la théorie d’Einstein-Cartan. La recherche d'une version quantique de la relativité générale aborde l'une des questions ouvertes les plus fondamentales de la physique. L'exemple idéal est celui de la pomme légendaire que Newton vit tomber d'un arbre, ce qui lui donna l'idée que tous les corps étaient soumis à la gravitation. Pour terminer cette section, nous observons que le produit scalaire de deux quadrivitesses a une in-. Consid�rons une courbe d�finie par ses coordonn�es . C'est ce principe qui permet à Einstein en 1907 de prédire quelques effets nouveaux de la gravitation, comme abordé dans la prochaine section. Le principe de relativité généralisé (ou principe de covariance généralisée, ou encore covariance sous la transformation) affirme que les lois de la physiqu… Le calcul tensoriel a �t� introduit � la fin du XIX�me si�cle par l�italien Gregorio Ricci-Curbastro et son disciple Tullio Levi-Civita. La position de n'importe quel point peut être décrite par deux coordonnées : la latitude et la longitude géographiques. Einstein a fait l'hypothèse que des expériences semblables avec des observateurs en chute libre ou inertiels en relativité restreinte représentent une propriété fondamentale de la gravitation. La relativité restreinte introduit un nouveau cadre de pensée pour toute la physique, en proposant des concepts radicalement nouveaux sur l'espace et le temps. Ceci est devenu possible notamment grâce aux observations de précision des pulsars binaires. Einstein s'est dit que d'une certaine manière, l'attraction par la gravitation est fondamentalement de la même nature que ces forces fictives[4]. Einstein avait introduit ce terme en 1917 dans son papier pionnier sur la cosmologie[49], et avec une motivation très spéciale : à l'époque, l'univers était tenu pour statique et éternel, et le nouveau terme – pris avec un signe répulsif – devait compenser l'attraction de la matière, qui provoquait le Big Bang. Dans les modèles cosmologiques modernes, la majorité de l'énergie de l'univers est sous des formes encore jamais directement détectées : l'énergie noire et la matière noire. Ici, E représente l'énergie du corps, m sa masse, et c la vitesse de la lumière (299 792 458 m/s). Ce décalage de fréquence correspond à une dilatation du temps gravitationnelle : comme l'observateur du haut constate que la même lumière vibre plus lentement, c'est que son horloge tourne plus vite. En relativité générale, la métrique de l'espace-temps et le tenseur de courbure de Riemann sont des quantités définies en chaque point de l'espace-temps. Par exemple, quand les ondes radio passent à proximité de l'autre étoile, ils doivent être défléchis par son champ gravitationnel. plus tard, einstein trouva quand même le moyen d'appliquer le premier principe, qu'il baptisa pour le coup "principe de relativité générale". Cette op�ration fait intervenir le tenseur m�trique de l�espace consid�r�. La relation linéaire la plus générale possible, … Les tenseurs prennent des formes diff�rentes selon qu�ils sont associ�s � la forme covariante ou � la forme contravariante des vecteurs consid�r�s. Selon la relativité générale, l'attraction gravitationnelle que l'on observe entre les masses est provoquée par une déformation de l'espace et du temps par ces masses. Citons encore la force qui empêche une toupie lancée assez vite de tomber, bien qu'elle repose sur sa pointe, ou la force qui éjecte l'eau du linge dans un lave-linge pendant l'essorage. Pour une fonction scalaire on peut en effet �crire : �tant l�ar�te du cube sur lequel est calcul�e la valeur moyenne. Quand l'observateur du bas envoie un faisceau lumineux à celui du haut, la relativité restreinte dit que celui du haut va le recevoir à une fréquence inférieure à celle d'émission. Pour les surfaces, la généralisation de la géométrie du plan – une surface plate – à la géométrie de surfaces courbées avait été décrite au début du XIXe siècle par Carl Friedrich Gauss. Ces deux corps ne tombent pas exactement dans la même direction, mais convergent sur un point unique dans l'espace : le centre (de gravité) de la Terre. Les solutions exactes de ces équations décrivent une géométrie particulière de l'espace-temps ; par exemple la solution de Schwarzschild décrit la géométrie autour d'une masse sphérique, sans rotation, comme une étoile. 1916 : Einstein formule la relativité générale (théorie classique) qui présente la gra-vitation comme une courbure de l'espace temps. D'autre part, il existe des trous noirs supermassifs, dont la masse peut varier du million au milliard de masses solaires, au centre de la plupart des galaxies, et ils jouent un rôle clef dans les modèles actuels de la formation des galaxies au cours des milliards d'années[45]. Comme toutes les forces fictives, celle-ci est proportionnelle à la masse, et il faut donc une force proportionnelle à la masse pour l'équilibrer[18]. Les ondes gravitationnelles sont une conséquence directe de la théorie d'Einstein. La relativité générale est une théorie de la gravitation qui a été développée par Albert Einstein entre 1907 et 1915. Beaucoup de ces prédictions ont été confirmées par l'expérience, tandis que d'autres sont encore le sujet de recherches. La d�riv�e simple et la d�riv�e covariante sont souvent not�es de la mani�re suivante : La pr�sence d�une virgule est la marque d�une d�riv�e simple, celle d�un point-virgule d�une d�riv�e covariante. Une géodésique est le plus court chemin entre deux points à la surface de la Terre. Nous avons rencontr� la m�trique de Minkowski dans les chapitres consacr�s � la relativit� restreinte. Elle g�n�ralise la notion de produit scalaire dans un espace courbe. Dans ce qui suit, nous allons utiliser la notion d�indices covariants et contravariants ainsi que la convention de sommation d�Einstein. Soit un vecteur de cet espace. Cette métrique contient l'information dont on a besoin pour calculer de proche en proche les grandeurs fondamentales de distance et d'angle dans l'espace en question. Cependant, tous ces méridiens partis parallèles se rejoignent aux pôles (voir figure à droite). En fait, si l'on part de la théorie complète, les équations d'Einstein permettent de trouver comment ces lois du mouvement de la matière dépendent de la géométrie ; mais il est assez difficile d'en déduire le mouvement des particules test, cf. terpr etation int eressan te. Par comparaison avec les planètes et autres objets astronomiques, les objets de la vie quotidienne (gens, voitures, maisons, et même montagnes) ont une masse petite. La recherche des g�od�siques revient � trouver la trajectoire qui minimise la fonctionnelle d�finie par : Le th�or�me d�Euler-Lagrange permet de r�soudre ce probl�me. En explorant l'équivalence entre gravitation et accélération, y compris le rôle des effets de marée, Einstein a découvert plusieurs analogies avec la géométrie des surfaces. T Évidemment, ces chemins ne sont pas droits, puisque ce sont des arcs de cercle tracés sur la sphère. Cependant aucune de ces théories n'est logiquement cohérente ni complète. On peut �crire : Le th�or�me d�Euler-Lagrange permet de trouver ais�ment la trajectoire qui minimise la quantit� L. Elle est telle que : Si l�on choisit tel que cette equation se simplifie et on parvient apr�s quelques d�veloppements suppl�mentaires � l��quation des g�od�siques (voir plus bas) : Tenseur de Riemann, tenseur de Ricci et courbure scalaire. Ce n’est pourtant pas le cas, et des travaux bien antérieurs l’ont précédée. L'équation d'Einstein s'écrit alors : G La relativité générale prévoit que ces deux ensembles d'horloges battent à des rythmes légèrement différents, en raison de leurs vitesses (effet Doppler-Fizeau déjà prédit par la relativité restreinte), et de leurs positions différentes dans le champ gravitationnel terrestre. D'autre part, il reste beaucoup de questions encore ouvertes, et intéressantes : en particulier la théorie dans son ensemble est presque certainement incomplète[51]. Ces forces fictives sont dues à l'inertie des objets, c'est-à-dire à leur tendance à suivre une trajectoire rectiligne à vitesse constante. Si l�on change de base les composants de la m�trique sont modifi�s. Plus de 100 ans après la publication de la théorie, la recherche est toujours plus active[57]. Dans un tel système, une des étoiles est un pulsar. Elle sera décalée vers le bleu[6]. Ces singularités sont des lignes ou des surfaces dans l'espace-temps où la géométrie perd sa signification, avec la conséquence que la relativité générale y perd son pouvoir de prédiction. Ces observateurs sont tous des observateurs privilégiés En septembre 1905, Albert Einstein publie sa théorie de la relativité restreinte, qui réconcilie les lois du mouvement de Newton avec l'électromagnétisme (l'interaction des objets avec les charges électriques). Il en a fait la pierre angulaire de sa théorie de la relativité générale, qu'il a formalisée dans le principe d'équivalence. Nous expliciterons ce point plus tard. On parle souvent des équations d'Einstein au pluriel, car les quantités G et T sont chacune un ensemble de dix composantes, fonctions des coordonnées dans l'espace-temps, et l'équation ci-dessus exprime l'égalité de chacune des composantes de G avec un multiple de la composante correspondante de T[24]. La relativité générale prédit aussi de nouveaux effets de la gravitation, tels que les ondes gravitationnelles, les effets de lentille optique gravitationnelle et l'effet de la gravitation sur le temps, connu sous le nom de dilatation gravitationnelle du temps. Un ensemble particulier d'observations est relié à des applications éminemment utilitaires, par exemple aux systèmes de navigation par satellite, tels le GPS ou Galileo, qui permettent une navigation précise dans l'espace et dans le temps. 7 Un peu d’histoire. La relativité relie entre elles la masse, l'énergie et la quantité de mouvement. Un autre ensemble de tests se porte sur des effets prédits par la relativité générale concernant le comportement de gyroscopes se déplaçant dans des champs gravitationnels. La dernière modification de cette page a été faite le 7 août 2020 à 22:37. Dans le langage de l'espace-temps, ceci signifie que sa ligne d'univers est droite. Bien sûr, la solution la plus simple est l'espace de Minkowski, sans courbure, décrit par la relativité restreinte. La m�trique est un tenseur. Ce sont des paires d'étoiles qui orbitent autour du centre de masse commun, et ce faisant, perdent graduellement leur énergie en émettant des ondes gravitationnelles. Un observateur dans une cabine fermée ne peut pas distinguer les deux cas suivants : Inversement, tout effet observé à cause de l'accélération du cadre de référence devrait être observé dans un champ gravitationnel de force correspondante. Dans le cas d'un pulsar double, la relativité générale prédit des déviations caractéristiques du rythme de ces impulsions. De même que la plupart des effets de la gravitation peuvent être supprimés en se mettant en situation de chute libre, ces effets peuvent être « provoqués » en observant des objets dans un système en cours d'accélération. L'argument d'Einstein a été que ce genre de décalage de fréquence doit également être observé dans des champs gravitationnels. Nous avons �voqu� le fait qu�il �tait possible d��lever ou d�abaisser les indices d�un tenseur. Si l'on veut dévier ou accélérer cette vitesse, l'objet réagit avec une force fictive proportionnelle à sa masse. G le mouvement de particules-test (assez légères pour n'avoir aucune influence gravitationnelle) dans un espace-temps courbé ; les propriétés de la matière qui servent de source à la gravitation, et qui peuvent donc influencer la courbure de l'espace-temps ; finalement les relations d'Einstein qui relient ces propriétés de la matière à la courbure de l'espace-temps. E n relativité générale, le vecteur moment cinétique du gyroscope est transporté parallèlement le long de la géodésique correspondant à la trajectoire du satellite. (« inertiels ») qu'Einstein a décrits – en l'absence de toute gravitation – dans sa théorie de la relativité restreinte : des observateurs pour lesquels la lumière parcourt des lignes droites à vitesse constante[2]. Les sommations qui interviennent sont faites sur i et j qui jouent un r�le sym�trique. Roland Lehoucq, astrophysicien au CEA, vous propose un cours de 2 heures sur la relativité générale et la relativité restreinte. Supposons que l�on passe d�une base dans laquelle les coordonn�es sont repr�sent�es par les symboles � une base dans laquelle les coordonn�es sont repr�sent�es par les symboles . Plus précisément, les calculs d'Einstein, décrits dans, Cet effet est une conséquence de la seule relativité restreinte, quel que soit le moteur de l'accélération : dans les deux situations, le décalage en fréquence se décrit comme un. Elle est not�e , �tant l�indice du vecteur unitaire dans l�axe duquel on effectue cette d�rivation. Cette description, à son tour, avait été étendue à des espaces à plusieurs dimensions dans un formalisme présenté par Bernhard Riemann dans les années 1850. On peut donc �crire (simple jeu d��criture) : On peut isoler le terme i en multipliant l��quation qui pr�c�de par . Pour des étoiles ordinaires comme le Soleil, la perte de masse serait trop faible pour être détectable. Z d3x0. Remarque : sa symétrie est liée à l’absence de torsion de la connexion. Si donc la masse, et donc l'énergie, est la source de la gravitation, il faut, pour rester cohérent avec la relativité, que ce soit le quadri-moment, moment inclus, qui soit à la source de la gravitation. x = ˙3u , et on v eri e que ˙ n’est pas un param etre a ne. Les exemples les plus connus sont les singularités présentes dans la description des trous noirs et du Big Bang[52]. Ce genre de variation de force est responsable, dans le cadre de la loi de Newton, des marées sur les océans terrestres, d'où l'utilisation de l'expression effet de « marée » pour ce phénomène. Ce que cela signifie va être détaillé dans les trois sections suivantes : Pour faire la carte des influences gravitationnelles d'un corps, il est utile de penser en termes de ce que les physiciens appellent particules test : ce sont des corps qui sont influencés comme tout par la gravitation, mais qui sont eux-mêmes si petits et légers que l'on peut négliger leurs propres effets gravitationnels.